撰文：Fox Tech CTO 林彦熹，Fox Tech 首席科学家孟铉济

前言：在zkRollup以及zkEVM赛道所遇到的几乎所有难题，其本质都是算法问题。ZKP硬件加速之所以屡屡被提及，主要原因是当下算法普遍较慢。为了避免落入“算法不够，硬件来凑”的尴尬境地，我们应该从本质算法上解决问题。设计出一种精妙绝伦的递证明方案是解决这个问题的关键。

随着智能合约的不断发展，越来越多的web3应用逐步问世，以太坊等传统Layer1交易量迅速攀升并随时可能发生拥堵。如何在保证能获取Layer1提供的安全性的同时获得更高的效率成为了亟需解决的问题。

对于以太坊而言，zkRollup使用零知识证明算法作为底层构件，将原本需要在Layer1上执行的高昂的计算搬到链下，并向链上提供执行正确性的证明。该赛道主要有StarkWare、zkSync、Scroll以及Fox Tech等项目。

事实上，在zkRollup的设计中，对于效率有很着高的要求：希望提交的证明值足够的小，这样可以减轻Layer1的计算量。而为了获取足够小的证明长度，各个zkRollup项目都在改进算法以及架构设计，例如Fox就结合了最新的零知识证明算法开发了自己的证明算法FOAKS，来获得最优的证明时间和证明长度。

此外，在验证证明的阶段，最平凡的手段是线性的生成证明并依次验证。为了提高效率，大家首先想到的是多个证明打包成一个证明，这也就是通常提到的证明聚合（Proof Aggregation）。

直观来讲，对于zkEVM生成的证明进行验证是一个线性的过程，验证者（Verifier）需要依次验证每一个生成的证明值。但是这种验证方式的效率比较低，通讯开销也比较大，对于zkRollup的场景，更高的验证者端的开销就意味着更多的Layer1层的计算，也就会导致更高的Gas fee。

我们先看一个例子：Alice想要向全世界证明自己在本月的1号至7号都去了Fox公园。为此，她可以分别在1号至7号的每一天都拿着当天的报纸在公园拍一张照片，这7张照片打包就成为一个证明。

图1：一般意义的证明聚合方案

上面例子里把7张照片直接放入一个信封就是直观意义上的证明聚合，这在实际情况中对应的是将不同证明连接在一起并依次线性验证，即先验证第一个证明，再验证第二个证明以及随后的证明。问题是这种做法既不会改变证明的大小，也不会改变证明的时间，与一个一个去证明并验证的效果一样。如果要实现对数级别的空间压缩，那就要使用下面提到的递归证明（Proof Recursion）。

Halo2以及STARK所用证明递归方案

为了更好的说明什么是递归证明，我们回到上面的例子。

Alice的7张照片实际上是7个证明。现在考虑将它们合并起来，于是Alice可以在1号拍好照片，在2号拿着这张照片和2号的报纸拍照片，在3号再拿着2号拍的照片和3号的报纸拍照片。以此类推，Alice在7号拿着6号的照片和7号的报纸拍下最后一张照片，而其他小伙伴在看到7号的这最后一张照片，就可以验证在1～7号Alice都去了公园。可以看到，之前的七张证明照片，被压缩成了一张。而在这个过程中的一个关键技巧，即是“包含照片的照片”，相当于将之前的照片以递归的形式嵌套进了之后的照片当中。这跟把很多照片放一起再拍个照片是不同的。

zkRollup的递归证明技巧可以大幅压缩证明大小。具体来讲，每一笔交易都会生成一个证明，我们设原始的交易计算电路为C0，P0为C0的正确性证明，V0为验证P0的计算过程，证明者（Prover）将V0也转化为对应的电路，记作C0’。此时，对于另一笔交易的证明计算过程C1，就可以将C0’和C1的电路合并，这样一来，一旦验证了合并后的电路的正确性证明P1，就相当于同时验证了以上两笔交易的正确性，也就是实现了压缩。

而回顾上述过程可以发现，其实压缩的原理在于将验证证明的过程又转化为了电路，然后生成“对于证明的证明”，所以从这个角度来说，是一种可以不断向下递归的操作，因此也被成为递归证明。

图2：Halo2与Stark所使用的递归证明方案

Halo2与STARK所采用的Proof Recursion方案能够并行生成证明，并将多个证明进行合并，使得验证一个证明值的同时可以验证多个交易执行的正确性，那就能够压缩计算的开销，从而极大的提高系统的效率。

然而，这样的优化仍然停留在具体的零知识证明算法之上的层次，为了进一步提高效率，我们需要更底层的优化和创新，Fox设计的FOAKS算法通过将递归的思想应用在一个证明的内部做到了这点。

FOAKS所使用的证明递归方案

在Fox Tech是一个zkEVM-based的zkRollup项目。在它的证明系统中，同样使用递归证明的技巧，但是内涵与上述递归方式有不同之处，主要的区别是Fox是在一个证明的内部使用了递归(Recursion)的思想。为了表达出Fox所使用的递归证明的那种不断将要证明的问题约化，直到约化后的问题足够简单的核心思想，我们需要再举一个例子。

在上面的例子，Alice通过拍照证明自己在某天去了Fox公园，于是Bob提出了不同的建议，他认为证明Alice去过公园的问题可以被约化为证明Alice的手机去过了这个公园，而证明这件事又可以被约化为证明Alice手机的定位在公园的范围里。因此，为了证明Alice去过这个公园，她只要在公园的时候用她的手机发送一个定位就行了。如此一来证明的大小就从原本的一张相片(一个很高维的数据)变为一个3维的数据(经纬度和时间)，有效的节约了成本。这个例子并不完全恰当，因为也许有人会质疑Alice的手机到过Fox公园不代表Alice本人到过，但是在实际的情况中，这个约化过程是数学形式上严格的。

具体而言，Fox的递归证明的用法是在电路层面的递归。在进行零知识证明的时候，我们会将要证明的问题编写成电路，接着通过电路计算出一些需要满足的等式。而与其展示这些等式是满足的，我们再次将这些等式编写成电路，如此往复，直到最后要证明满足的等式变得足够简单，我们便能轻松的直接证明了。

从这个过程当中我们可以看出，这么做更贴近“递归”的含义。值得一提的是不是所有算法都可以使用这个递归技术，假设每一次递归会将复杂度为O(n)的证明变为一个O(f(n))的证明，而这个递归过程本身的计算复杂度是O(g(n))，则递归一次后总计算复杂度就变为O1(n)=O(f(n))+O(g(n))，两次后就是O2(n)=O(f(f(n)))+O(g(n))+O(g(f(n)))，三次后就是O3(n)=O(f(f(f(n))))+O(g(n))+O(g(f(n)))+O(g(f(f(n))))，...，以此类推。因此，只有在f和g两个对应算法特性的函数满足对某个k有Ok(n)

图3：ZK-FOAKS所使用的递归证明方案

结语

证明的复杂度一向是零知识证明应用中最重要的关键之一，证明复杂度这个性质随待证明的事情越来越复杂会变得越来越重要，特别是在像zkEVM这样的巨型ZK应用场景中，证明的复杂度会对产品的性能与用户的体验造成决定性的影响。而在众多降低最终证明的复杂度的方法中，对核心算法的优化最为重要，Fox在最前沿算法的基础上设计出了精妙绝伦的递证明方案，并利用这项技术打造出最适合于zkEVM的ZK-FOAKS算法，有望成为zkRollup界的性能担当。